marco
Modello matematico motore DC
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Martedì 20 Dicembre 2011 19:58
Scritto da marco

Introduzione

Vorrei poroporre una semplice trattazione sul modello matematico di un motore DC (Direct Current) a magneti permanenti. Questo modello conterrĂ  le formule principali che descrivono il comportamento del motore e che può essere usato per fare due conti di dimensionamento o per fare alcune simulazioni con software come Matlab. Prima di tutto possiamo dividere il motore in 2 sistemi, uno Meccanico e un altro Elettrico.

schema motore cc

Sistema meccanico

Il sistema meccanico si compone principalmente di 2 parti, una statica, lo statore, sede dei magneti permanenti, e una dinamica, il rotore, sul quale sono disposti gli avvolgimenti di armatura. Ora possiamo scriverne l'equazione meccanica dettata dal bilancio delle coppie:

Cm=Im*dω/dt + Fm*ω + Cr

Cm: coppia [Nm];

Im: inerzia del rotore [kgm2];

ω: velocità angolare[rad/sec];

Fm: forza d'attrito viscoso (in genere nei data sheet non viene riportato ma può essere ricavato considerando la velocitĂ  a vuoto Ď‰0 in condizioni nominali  Fm=kt*Ia0/ω0) [Nm*s];

Cr: coppia resistente ossia è il carico che viene applicato.

Osservando che ω=dθ/dt , dove θ è la posizione angolare del rotore, possiamo anche scrivere:    Cm=Im*d2θ/dt2 + Fm*dθ/dt + Cr 

Da questa formula possiamo ricavarne il modello meccanico, per 1/S si intende l'operazione di integrale (notazione nelle trasformate di Laplace):

ModelloMeccanico
Notare che c'è una retroazione di velocità, questo fa si che, applicando una coppia costante, la velocità si auto regoli ad un valore costante, quello che segue è un esempio Velocit
ScemaArmatura

Sistema elettrico

 Senza spiegare il funzionameto giĂ  descritto in altri articoli, scriviamo direttamente le equazioni:

 

 Cm=kt*Ia;

 Ua=Ra*Ia + La*dIa/dt + kv*ω;

 

 kt=kv : costante di coppia e velocitĂ , nei datasheet si trova alla voce constant torque;

 Ua: tensione di armatura

 Ra: resistenza di armatura, non è riportata nei datasheet ma si può ricavare considerando la coppia allo spunto Cs  (reperibile nei ds) in condizioni nominali   Ra=UaN*kt/Cs;

 

 Riassumiamo le formule per il sistema completo

 Cm=Im*dω/dt + Fm*ω + Cr;

 Cm= kt*Ia;

 Ua= Ra*Ia+La*dIa/dt + kv*ω;

 

Da queste tre formule possiamo ricavare il modello comleto del motore in corrente continua:

ModelloMotoreCC

Notiamo che è presente un'ulteriore retroazione di velocitĂ  che rende stabile il sistema (la velocitĂ  non può divergere). Questo modello è utile per simulare il comportamento del motore in possesso che si vuole studiare. Inoltre note le specifiche del sistema che vogliamo costruire quali: alimentazione disponibile velocitĂ  massima e coppia massima possiamo ricavare le caratteristiche che dovrebbe avare il motoro e quindi effettuare una scelta confrontando tali caratteristiche con quelle presenti nei datasheet.

 

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